一罐可乐

集中趋势与离散程度#

计算均值、中位数和众数反映数据的集中情况：

1
mean(x)       # 均值（例如：50.5）
2
median(x)     # 中位数（例如：49.0）
3
weighted.mean(x, w) # 加权均值
4

5
# 离散程度：极差、方差和标准差
6
max(x) - min(x)     # 极差
7
var(x)        # 方差（例如：10.2）
8
sd(x)         # 标准差（例如：3.19）

分位数与形态指标#

1
# 四分位数与分位数
2
quantile(x, probs = c(0.25, 0.75))
3

4
# 偏度与峰度（需加载 e1071 包）
5
library(e1071)
6
skewness(x)
7
kurtosis(x)

一键输出描述统计量#

不用一个一个算，很多包提供了一键汇总功能：

1
library(psych)
2
describe(stat_data)
3

4
library(pastecs)
5
stat.desc(stat_data)

进阶补充：矩的数学推导与偏差修正#

• 高阶矩的定义：描述性统计实质上是在估计随机变量的各阶矩。一阶原点矩是均值（位置），二阶中心矩是方差（尺度），三阶标准矩是偏度（非对称性），四阶标准矩是峰度（尾部厚度）。
• 样本偏度与峰度的偏差修正：标准的矩估计在小样本下是有偏的。Fisher-Pearson 标准化修正（多数高级统计软件如 SPSS、SAS 的默认行为）会在偏度和峰度的计算中引入 $\sqrt{n(n-1)}/(n-2)$ 相关的修正系数，以消除有限样本带来的系统性偏差。
• 稳健统计量（Robust Statistics）：当数据存在严重异常值时，均值和方差会失效。此时应该使用中位数（Median）、四分位距（IQR）或者截尾均值（Trimmed Mean，mean(x, trim=0.1)）以及中位数绝对偏差（MAD）来更稳健地描述数据分布。