一罐可乐

计算分布概率与分位数#

在函数前加 p 计算累计概率，加 q 计算分位数。

1
# 正态分布 N(50, 10^2)
2
pnorm(80, mean = 50, sd = 10)         # P(X < 80)
3
qnorm(0.95, mean = 0, sd = 1)         # 标准正态分布，累计概率 0.95 的分位数
4

5
# t 分布
6
pt(-2, df = 10)                       # P(t < -2)
7
qt(0.975, df = 20)                    # 自由度 20 的双尾分位数

区间估计：z.test() 实践#

当我们知道样本情况，需要估计总体均值的置信区间时：

1
library(BSDA)
2

3
# 总体标准差已知，求 95% 置信区间
4
z.test(x, mu = 0, sigma.x = 5, conf.level = 0.95)$conf.int
5

6
# 总体标准差未知，用样本标准差代替
7
z.test(x, mu = 0, sigma.x = sd(x), conf.level = 0.95)$conf.int

进阶补充：极大似然估计 (MLE) 与经验分布函数#

• 极大似然估计的数值求解：在不知道总体分布参数时，可以构建对数似然函数，然后利用 R 中的通用优化函数 optim() 或一维优化 optimize() 进行数值寻优，从而求得 MLE 估计值。

  1
  # 使用 optim 求解正态分布 MLE 的简易示例
  2
  neg_log_lik <- function(theta, x) {
  3
    -sum(dnorm(x, mean = theta[1], sd = theta[2], log = TRUE))
  4
  }
  5
  optim(c(0, 1), neg_log_lik, x = sample_data)

• 经验累积分布函数 (ECDF)：在不预设任何参数分布假设时，可以通过 ecdf() 函数生成阶跃函数，利用 Kolmogorov-Smirnov 检验（ks.test）来量化样本分布与理论分布之间的最大距离（D_n）。