一罐可乐

1. 偏差变量（Deviational Variables）#

目标规划中，每个目标约束都引入一对非负的偏差变量，用以表达决策值与目标值之间的偏离程度：

• 正偏差变量（$d^+$）：表示决策值超过目标值的部分。
• 负偏差变量（$d^-$）：表示决策值未达到目标值的部分。
• 由于决策值不可能同时既超过又未达到目标值，因此正负偏差变量满足互斥关系，即恒有： $d^+ \cdot d^- = 0$

2. 绝对约束与目标约束#

• 绝对约束（硬约束）：指必须严格满足的物理或资源限制条件（如最大产能、不可超用的原料限量）。不满足这些约束的解是非法的。
• 目标约束（软约束）：目标规划特有的约束形式。它将硬约束的右端常数项看作是一个努力追求的“目标值”。在决策值与该目标值之间允许发生偏差，通过加入正负偏差变量，将不等式转化为等式： $\text{原目标约束： } f(x_1, x_2, \dots, x_n) + d^- - d^+ = g$

3. 优先因子与权系数#

• 优先因子（$P_1, P_2, \dots, P_K$）：决策者对各个目标赋予的优先等级。规定高优先级目标具有绝对的支配权： $P_1 \gg P_2 \gg \dots \gg P_K$ 即在求解时，首先确保第一级目标 $P_1$ 尽可能实现；只有在 $P_1$ 达成的基础上，才考虑 $P_2$ 级目标；以此类推。
• 权重系数（$w_j$）：用于区分具有相同优先因子的不同目标之间的相对重要程度。

4. 目标规划的目标函数#

目标规划的目标是使各级目标的偏差尽可能缩小。其目标函数一律为极小化形式： $\min z = f(d^+, d^-)$ 具体构建形式取决于决策者的诉求：

1. 要求恰好达到目标值（超额或不足都不希望发生）： $\min z = d^+ + d^-$
2. 要求不超过目标值（允许未达标，但要求超额量尽可能小）： $\min z = d^+$
3. 要求不低于目标值（允许超额，但要求不足量尽可能小）： $\min z = d^-$

1. 求解步骤#

1. 绘制所有绝对约束所构成的可行域（若没有绝对约束，则初始可行域为第一象限）。
2. 画出各目标约束的边界直线，并标注出 $d^+$（直线右上方区域）与 $d^-$（直线左下方区域）的偏离方向。
3. 按照优先因子 $P_1, P_2, \dots$ 的顺序，依次在当前可行域中搜寻使对应偏差变量最小化的解集：
   • 在满足 $P_1$ 目标偏差最小的解集里，寻找满足 $P_2$ 的解集。
   • 逐步缩小可行解的范围，直至遍历完所有优先级，最终留下的单点或线段即为满意解。

2. 最优解与满意解的区别#

由于多个目标之间往往存在强烈的利益冲突（如提高员工工资与控制企业成本冲突），通常不存在能让所有目标都达到完美的“最优解”。目标规划最终求得的是在决策者给定的优先级和权重下，整体妥协效果最佳的满意解（此时目标函数值 $z^*$ 通常不为 0）。

1. 职工升级调资方案设计#

• 问题背景：某单位制定职工升级方案，依次满足四个目标：
  • $P_1$：年工资总额不超过 60,000 元；
  • $P_2$：升级后各级职工总数不超过定编名额；
  • $P_3$：Ⅱ、Ⅲ级的升级面（晋升比例）尽可能达到现有人数的 $20\%$。
• 模型变量： 设决策变量 $x_1, x_2$ 分别为晋升到 Ⅰ 级和 Ⅱ 级的人数，$x_3$ 为新招录的 Ⅲ 级职工人数。
• 约束构建：
  • 通过将“工资总额限制”、“名额编制”、“晋升率要求”化为目标约束，引入 $d_1^-, d_1^+$ 到 $d_6^-, d_6^+$ 偏差变量。
  • 目标函数构建为： $\min z = P_1 d_1^+ + P_2(d_2^+ + d_3^+ + d_4^+) + P_3(d_5^- + d_6^-)$
  • 注：此模型包含 0-1 退休等刚性系数影响，需注意退休职工工资剔除等平衡方程计算。

2. 调运方案的多目标优化#

• 问题背景：在运输问题的基础上，决策部门提出了多项政策性目标：
  • $P_1$：销地 $B_4$ 是重点保证单位，必须全部满足需求；
  • $P_2$：产地 $A_3$ 向 $B_1$ 提供的调运量不少于 100；
  • $P_3$：每个销地的实际供应率不低于需求的 $80\%$；
  • $P_4$：总运费不得超出最小运费调运方案（单目标 LP 解）的 $110\%$；
  • $P_5$：路段规避约束（尽量避免从 $A_2$ 运往 $B_4$）；
  • $P_6$：保证 $B_1$ 与 $B_3$ 两个地点的供应率（满足率）相同；
  • $P_7$：力求使总运费最省。
• 建模技巧： 在该问题中，各产地的供应能力是刚性上限（绝对约束），必须写成绝对约束形式（如 $\sum_{j} x_{1j} \le 300$）。而销地需求、运费预算等则写成含有偏差变量的目标约束，按上述 $P_1$ 到 $P_7$ 优先级构建目标函数极小化模型。