一罐可乐

问题描述：某工厂在计划期内要安排生产 Ⅰ、Ⅱ 两种产品。已知生产单位产品所需的设备台时、原材料消耗及可获利润如下表所示：

数学模型： 设 $x_1$ 和 $x_2$ 分别为产品 Ⅰ、Ⅱ 的计划产量： $\max z = 2x_1 + 3x_2$ $\text{s.t. } \begin{cases} x_1 + 2x_2 \le 8 \\ 4x_1 \le 16 \\ 4x_2 \le 12 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases}$

求解结论：采用 图解法 可求得最优决策点为 $B(50, 250)$ （注意：此处为比例放大后的数值，原模型最优解通常为 $x_1=4, x_2=2$，若按 Slide 7 的标注，其坐标解为放大后的最优解），最优目标值 $z=27500$。

问题描述：投资商有 90,000 元资金，准备投资于股票 A 和 B（可同时投资）。股票的有关参数如下表：

决策要求：设计一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于 700，且投资收益不低于 10,000 元。

数学模型： 设投资股票 A 和 B 的股数分别为 $x_1$ 和 $x_2$。 $\text{收益目标：} \max f_1(x_1, x_2) = 3x_1 + 4x_2$ $\text{风险目标：} \min f_2(x_1, x_2) = 0.5x_1 + 0.2x_2$ $\text{约束条件：} \begin{cases} 20x_1 + 50x_2 \le 90000 \\ 3x_1 + 4x_2 \ge 10000 \\ 0.5x_1 + 0.2x_2 \le 700 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases}$

问题描述：某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物。两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运限制如下表所示：

此外，受合同限制，甲种货物至多托运 4 件。问两种货物各托运多少件，可使获得的总利润最大？

数学模型： 设甲、乙两种货物的托运件数分别为 $x_1$ 和 $x_2$。 $\max z = 2x_1 + 3x_2$ $\text{s.t. } \begin{cases} 195x_1 + 273x_2 \le 1365 & \text{（体积限制）} \\ 4x_1 + 40x_2 \le 140 & \text{（重量限制）} \\ x_1 \le 4 & \text{（合同限制）} \\ x_1, x_2 \ge 0, \text{且为整数} \end{cases}$

问题描述：已知产地 $A_1, A_2, A_3$ 的产量以及销地 $B_1, B_2, B_3, B_4$ 的销量与单位运价表如下：

表上作业法初始基可行解确定（最小元素法）：

1. 选择运价最小的格子 $x_{21}$（运价为 1），分配运量 $x_{21} = \min(4, 3) = 3$。此时 $B_1$ 需求满足，$A_2$ 剩余产量为 1。
2. 在未满格中选择最小运价格子 $x_{23}$（运价为 2），分配运量 $x_{23} = \min(1, 5) = 1$。此时 $A_2$ 产量耗尽，$B_3$ 仍需 4。
3. 继续选择运价最小的格子 $x_{13}$（运价为 3），分配运量 $x_{13} = \min(7, 4) = 4$。此时 $B_3$ 需求满足，$A_1$ 剩余产量为 3。
4. 选择运价最小的格子 $x_{32}$（运价为 4），分配运量 $x_{32} = \min(9, 6) = 6$。此时 $B_2$ 需求满足，$A_3$ 剩余产量为 3。
5. 选择运价最小的格子 $x_{34}$（运价为 5），分配运量 $x_{34} = \min(3, 6) = 3$。此时 $A_3$ 产量耗尽，$B_4$ 仍需 3。
6. 最后只能分配到 $x_{14}$，运量 $x_{14} = \min(3, 3) = 3$。

注：Slide 9 中的简要计算步骤如下：

• $x_{12} = \min(4, 6) = 4$（按表中某种分配策略）
• $x_{11} = \min(7, 3) = 3$
• $x_{22} = \min(4, 2) = 2$
• $x_{23} = \min(2, 5) = 2$
• $x_{33} = \min(3, 9) = 3$
• $x_{34} = \min(6, 6) = 6$ 具体的初始解取决于采用的是最小元素法还是西北角法，实际计算中应严格执行相应规则。